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LeetCode 0034 一般二分搜索的重点

发表于 更新于 分类于

题解仓库，更新中 GitHub LeetCode-Java

题目大意

给定一个排好序的数组，内里元素可能有重复，给定一个目标值，找出目标值最左端和最右端的index。传送门

典型的二分搜索

二分搜索并不容易写，因为实际上的二分搜索也可以被分成很多类，但是当人们提起时，往往混为一谈，我觉得，基本的，典型的二分搜索有这两类：

  1. 寻找一个特定值
  2. 寻找满足某个条件的连续区间的边界

第一种是最经典的二分搜索，也是初学者最有可能接触到的二分搜索。

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while (left < right) {
    int mid = (right - left) / 2 + left;
    if (nums[mid] == target) {
        return mid;
    } else if (nums[mid] < target) {
        left = mid + 1;
    } else {
        right = mid - 1;
    }
    return -1;
}

而第二种则是本题目中的要求，而且本题将上下界都涵盖了，非常经典。

二分搜索的重点

那么，二分搜索的重点有哪些呢？其实只有两点：

  1. 保证每次循环后，如果我们的解存在，那么一定还在$[left, right]$区间里。
  2. 每次循环，区间$[left, right]$一定会缩小

我们来看看本题的解法：

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private int leftEdge(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left < right) {
        int mid = (right - left) / 2 + left;
        if (nums[mid] >= target) {
            right = mid;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    if (nums[left] == target) {
        return left;
    }
    return -1;
}

private int rightEdge(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left < right) {
        int mid = (right - left) / 2 + left + 1;
        if (nums[mid] <= target) {
            left = mid;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    if (nums[left] == target) {
        return left;
    }
    return -1;
}

笔者是先完成了 leftEdge ，后完成 rightEdge 的。从其中的改变可以看出二分搜索三个重点。

改变一

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if (nums[mid] >= target) {
    right = mid;
} else {
    left = mid + 1;
}

变为

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if (nums[mid] <= target) {
    left = mid;
} else {
    right = mid - 1;
}

为什么？因为只有这样改变，才能保证重点一的成立。

在 leftEdge 中，right = mid 而不是 right = mid - 1 是因为如果 mid 已经是所求解，即区间左端点，那么 mid - 1 会将解排除在外。
同理，rightEdge 中，left = mid 而不是 left = mid + 1。

改变二

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int mid = (right - left) / 2 + left;

变为

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int mid = (right - left) / 2 + left + 1;

这一改变其实是与改变一联动，其目的是保证重点二的成立。为什么？

因为如果在 rightEdge 中还使用经典的 int mid = (right - left) / 2 + left;，由于我们使用了 left = mid 来缩减区间，试想如果 right = 2, left = 1 且 nums[mid] <= target 成立, 那么经过计算 mid 永远等于 left,也即区间其实不会缩小，程序进入死循环。

由于两个方法都是为了寻找区间端点，终归相似之处较多，也基本属于经典范畴。

但是 LeetCode 上还有另外一题 0033 Search-in-Rotated-Sorted-Array 是一道较为新颖的二分搜索题，乍一看由于没有了经典二分中的序关系，不像二分，但想懂后还是很舒畅的。